Цель урока:1) познакомить с пространственным четырехугольником, его элементами.
Развивать пространственное видение окружающего мира.
2)формирование информационной компетентности на 1 уровне, аспект: извлечение вторичной информации.
План урока:
Актуализация ( смыслополагание ) знаний учащихся.
1.Дайте определение многоугольника на плоскости.
2.Что вы знаете о взаимном расположении двух прямых
а) на плоскости
б) в пространстве.
3.А как могут располагаться две прямые в пространстве?
4. Каково взаимное расположение двух плоскостей , если третья плоскость пересекает их по прямым : а) имеющим общую точку ; б) не имеющим общих точек?
5.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?
6. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями не равны?
7. Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых , заключенные между этими плоскостями, не равны?
8.Прямая a пересекает параллельные плоскости ( NFK) и( QRT) и точках А иВ. Прямая b, параллельная прямой a , пересекает плоскости в точках D и C. Найдите периметр четырехугольника ABCD , если AB= 3 см, ВС=4 см.
( слайды, для проверки работы).
Изучение нового материала. Объяснение учителя.
Одна из глав нашего курса посвящена многогранникам – поверхностям геометрических тел, составленных из многоугольников. Познакомимся с одним из них сегодня на уроке- тетраэдром. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия , связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере геометрических тел.
Вспомним , прежде всего , что мы понимали под многоугольником в планиметрии.
При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться следующим толкованием многоугольника: многоугольник представляет собой плоскую поверхность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ тетраэдр
Построим ABC, точка D ,не лежит в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника, получим DAB,
DBC, DCA, получим тетраэдр.
D
Итак, поверхность составленная из четырех треугольников ABC , DBC , DAB , ,называется тетраэдром и обозначается : DABC .
Тетраэдр, то есть четырехгранник (" тетра" – четыре ," эдр"- грань).
(Показ моделей тетраэдров).
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами,
а вершины – вершинами тетраэдра.Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер, четыре вершины.
Два ребра тетраэдра , не имеющие общих вершин , называются противоположными.
Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – а три другие боковыми гранями.
Среди различных задач выделяют задачи на построение сечений. Под сечением будем понимать любую плоскость ( назовем ее секущей плоскостью) ,по обе стороны которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает тетраэдр по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники. Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра, после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
. Компетентностно - ориентированное задание.
Стимул: развитие пространсвенного видения окружающего мира
Изучите текст, который вы видите на экране; выделите условие задачи, найдите указанные точки на чертеже. Объясните получение дополнительных точек ( какие теоретические знания нам необходимы).
Используем материал ЦОР.
Материал из ЦОР. ( Открытая математика. Версия 2.6.Стереометрия. Тетраэдр. Построение сечений.)
4.3. Построения на изображениях
В этом параграфе рассматриваются задачи построений сечений многогранников. При этом, безусловно, все построения будут проводиться на изображении многогранника и, соответственно, строиться изображение сечения. Способы задания плоскости в таких задачах могут быть различными: с помощью трех точек, точки и условия параллельности какой-либо плоскости, двух параллельных прямых и т. д. Рассмотрим одну типичную задачу.
Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L и M (рис. 4.3.1, a).
1
Рисунок 4.3.1
Это, наверное, самый простой вариант расположения точек, задающих секущую плоскость. При построении сечения нам не понадобится ничего, кроме аксиом и их простейших следствий. Проведем в плоскости ABD прямую KL – «след» плоскости ABD (отсюда и название метода построения сечений – метод следов). Пусть KL BD = P (рис. 4.3.1, b) (случай, когда KL BD, рассматривается особо). Проводим прямую PM, получаем точку N и достраиваем сечение (рис. 4.3.1, c).
Немного труднее случай расположения точек K, L и M, показанный на рисунке .
2
Здесь точки K, L и M лежат на гранях ABD и BCD, а точка L – на ребре AC. Естественно, что сразу построить «след» плоскости сечения нельзя. Рассмотрим вспомогательную плоскость BMK. В этой плоскости уже можно построить прямую KM – «след» сечения. Пусть P – точка пересечения прямых KM и EF (рис. 4.3.2, b). Точка P лежит в плоскости ADC и в плоскости сечения. Однако в этой же плоскости лежит и точка L. Проведем прямую LP – «след» сечения в плоскости ADC, получаем точку N (рис. 4.3.2, c) и достраиваем сечение.
Рассмотрим теперь общий случай, когда все три точки, задающие сечение, лежат на плоскостях граней, но не на ребрах пирамиды (рис. 4.3.3, a, b, c).
3
Рисунок 4.3.3
Проведем вспомогательную плоскость DKM, пересекающую ребра AB и BC в точках E и F. Теперь построим «след» KM плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости и найдем точку пересечения прямых KM и EF – точку P. Так как точки P и L лежат в плоскости ABC, то можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость ABC. Теперь можно достроить сечение (рис. 4.3.3, b, c).
Проиллюстрируем еще один метод построения сечений, который называется методом внутреннего проектирования. Его особенность заключается в том, что с его помощью можно строить сечения, «находясь внутри» многогранника.
Проиллюстрируем его на примере рисунка 4.3.4.
Построим вспомогательную плоскость BLC и в ней отрезок LM (рис. 4.3.4, a). Построим еще одну вспомогательную плоскость DCK. BL DK = E. Точка E при этом принадлежит обеим вспомогательным плоскостям (рис. 4.3.4, b). Пусть LM EC = F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK. Теперь проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точку N, которая тоже принадлежит сечению. Тогда четырехугольник KLNM и будет искомым сечением.
Можно поступить по-другому и начать с конца. Допустим, что искомое сечение KLNM построено (рис. 4.3.4, c).
Пусть F – точка пересечения диагоналей четырехугольника KLNM. Проведем прямую DF и обозначим через F1 точку пересечения с гранью ABC. Точка F1 одновременно принадлежит плоскостям AMD и DCK и потому совпадает с точкой пересечения прямых AM и CK, эту точку легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF1 и LM. Затем находим точку N.
Примечание: используя интерактивную доску получаем последовательное построение элементов сечения. (модельный ответ). Итог урока: а) Вид многогранника, с которым с которым мы познакомились.
б) Понятие сечения тетраэдра.
в) Способы построения сечений.
Домашнее задание: §§5,6. Выполнить сечения тетраэдра по предложенным карточкам.
Развивать пространственное видение окружающего мира.
2)формирование информационной компетентности на 1 уровне, аспект: извлечение вторичной информации.
План урока:
Актуализация ( смыслополагание ) знаний учащихся.
1.Дайте определение многоугольника на плоскости.
2.Что вы знаете о взаимном расположении двух прямых
а) на плоскости
б) в пространстве.
3.А как могут располагаться две прямые в пространстве?
4. Каково взаимное расположение двух плоскостей , если третья плоскость пересекает их по прямым : а) имеющим общую точку ; б) не имеющим общих точек?
5.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?
6. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями не равны?
7. Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых , заключенные между этими плоскостями, не равны?
8.Прямая a пересекает параллельные плоскости ( NFK) и( QRT) и точках А иВ. Прямая b, параллельная прямой a , пересекает плоскости в точках D и C. Найдите периметр четырехугольника ABCD , если AB= 3 см, ВС=4 см.
( слайды, для проверки работы).
Изучение нового материала. Объяснение учителя.
Одна из глав нашего курса посвящена многогранникам – поверхностям геометрических тел, составленных из многоугольников. Познакомимся с одним из них сегодня на уроке- тетраэдром. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия , связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере геометрических тел.
Вспомним , прежде всего , что мы понимали под многоугольником в планиметрии.
При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться следующим толкованием многоугольника: многоугольник представляет собой плоскую поверхность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ тетраэдр
Построим ABC, точка D ,не лежит в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника, получим DAB,
DBC, DCA, получим тетраэдр.
D
Итак, поверхность составленная из четырех треугольников ABC , DBC , DAB , ,называется тетраэдром и обозначается : DABC .
Тетраэдр, то есть четырехгранник (" тетра" – четыре ," эдр"- грань).
(Показ моделей тетраэдров).
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами,
а вершины – вершинами тетраэдра.Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер, четыре вершины.
Два ребра тетраэдра , не имеющие общих вершин , называются противоположными.
Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – а три другие боковыми гранями.
Среди различных задач выделяют задачи на построение сечений. Под сечением будем понимать любую плоскость ( назовем ее секущей плоскостью) ,по обе стороны которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает тетраэдр по отрезкам. Многоугольник, который будет образован этими отрезками, и является сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечением могут быть треугольники и четырехугольники. Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра, после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
. Компетентностно - ориентированное задание.
Стимул: развитие пространсвенного видения окружающего мира
Изучите текст, который вы видите на экране; выделите условие задачи, найдите указанные точки на чертеже. Объясните получение дополнительных точек ( какие теоретические знания нам необходимы).
Используем материал ЦОР.
Материал из ЦОР. ( Открытая математика. Версия 2.6.Стереометрия. Тетраэдр. Построение сечений.)
4.3. Построения на изображениях
В этом параграфе рассматриваются задачи построений сечений многогранников. При этом, безусловно, все построения будут проводиться на изображении многогранника и, соответственно, строиться изображение сечения. Способы задания плоскости в таких задачах могут быть различными: с помощью трех точек, точки и условия параллельности какой-либо плоскости, двух параллельных прямых и т. д. Рассмотрим одну типичную задачу.
Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки K, L и M (рис. 4.3.1, a).
1
Рисунок 4.3.1
Это, наверное, самый простой вариант расположения точек, задающих секущую плоскость. При построении сечения нам не понадобится ничего, кроме аксиом и их простейших следствий. Проведем в плоскости ABD прямую KL – «след» плоскости ABD (отсюда и название метода построения сечений – метод следов). Пусть KL BD = P (рис. 4.3.1, b) (случай, когда KL BD, рассматривается особо). Проводим прямую PM, получаем точку N и достраиваем сечение (рис. 4.3.1, c).
Немного труднее случай расположения точек K, L и M, показанный на рисунке .
2
Здесь точки K, L и M лежат на гранях ABD и BCD, а точка L – на ребре AC. Естественно, что сразу построить «след» плоскости сечения нельзя. Рассмотрим вспомогательную плоскость BMK. В этой плоскости уже можно построить прямую KM – «след» сечения. Пусть P – точка пересечения прямых KM и EF (рис. 4.3.2, b). Точка P лежит в плоскости ADC и в плоскости сечения. Однако в этой же плоскости лежит и точка L. Проведем прямую LP – «след» сечения в плоскости ADC, получаем точку N (рис. 4.3.2, c) и достраиваем сечение.
Рассмотрим теперь общий случай, когда все три точки, задающие сечение, лежат на плоскостях граней, но не на ребрах пирамиды (рис. 4.3.3, a, b, c).
3
Рисунок 4.3.3
Проведем вспомогательную плоскость DKM, пересекающую ребра AB и BC в точках E и F. Теперь построим «след» KM плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости и найдем точку пересечения прямых KM и EF – точку P. Так как точки P и L лежат в плоскости ABC, то можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость ABC. Теперь можно достроить сечение (рис. 4.3.3, b, c).
Проиллюстрируем еще один метод построения сечений, который называется методом внутреннего проектирования. Его особенность заключается в том, что с его помощью можно строить сечения, «находясь внутри» многогранника.
Проиллюстрируем его на примере рисунка 4.3.4.
Построим вспомогательную плоскость BLC и в ней отрезок LM (рис. 4.3.4, a). Построим еще одну вспомогательную плоскость DCK. BL DK = E. Точка E при этом принадлежит обеим вспомогательным плоскостям (рис. 4.3.4, b). Пусть LM EC = F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK. Теперь проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точку N, которая тоже принадлежит сечению. Тогда четырехугольник KLNM и будет искомым сечением.
Можно поступить по-другому и начать с конца. Допустим, что искомое сечение KLNM построено (рис. 4.3.4, c).
Пусть F – точка пересечения диагоналей четырехугольника KLNM. Проведем прямую DF и обозначим через F1 точку пересечения с гранью ABC. Точка F1 одновременно принадлежит плоскостям AMD и DCK и потому совпадает с точкой пересечения прямых AM и CK, эту точку легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF1 и LM. Затем находим точку N.
Примечание: используя интерактивную доску получаем последовательное построение элементов сечения. (модельный ответ). Итог урока: а) Вид многогранника, с которым с которым мы познакомились.
б) Понятие сечения тетраэдра.
в) Способы построения сечений.
Домашнее задание: §§5,6. Выполнить сечения тетраэдра по предложенным карточкам.
